D. G. Wells

Indeholder "Acknowledgements", "Introduction", "1. The hidden world of triangles", "2. Numbers and patterns", "3. Mathematics as science", "4. The games of mathematics", "5. Creating new mathematical games", "6. Perception and imagination", "7. Likeness and analogy", "8. Certainty, proof and illumination", "9. Mathematics in science: searching for the truth", "10. Mathematics in science: approximate models", "11. The enjoyment of mathematics", "12. A miniature world and a long journey", "13. A mathematical adventure", "14. Index".

"Acknowledgements" handler om de mange der har hjulpet forfatteren.
"Introduction" handler om at matematik ikke er en tilskuersport. Man må selv have fingrene i dejen.
"1. The hidden world of triangles" handler om trekanter, deres forskellige centre og vinkelsum og areal af konvekse punktmængders indesluttende rektangel.
"2. Numbers and patterns" handler om tal og mønstre, fx at to tal, der hver er sum af to kvadrater, ganget sammen også giver et tal, der kan skrives som sum af to kvadrater. Her er lidt om Fermat's lille sætning og mønstre, når man regner i restklasser og fx kigger på kubiktal og potenser af tre.
"3. Mathematics as science" handler om polyedre og Eulers sætning, V - E + F = 2. Også lidt om et ulige tals divisorer, for man kan vise at antallet af 4n+1 divisorer altid er større end eller lig med antallet af 4n-1 divisorer.
"4. The games of mathematics" handler om matematik som et spil, hvor man skal vide lidt om hvad målet er. Udforskning af nye muligheder og nye regler. Fx hvis x og y er to forskellige heltal, hvad er så størst? x^2 + y^2 eller 2*x*y. Lidt om Euler og om Ramanujan.
"5. Creating new mathematical games" handler om hvordan allerede udforsket terræn kan give nye oplevelser. Ikke-euklidisk geometri. Grafteori. Ligninger. Komplekse tal.
"6. Perception and imagination" handler om trekanter og tesselationer af planen.
"7. Likeness and analogy" handler om problemer, der viser sig at hænge sammen. Snell's lov. Et problem med stiger, hældende skråplaner, Pascal's trekant.
"8. Certainty, proof and illumination" handler om Monster gruppen, firfarveteoremet og hvad et bevis er.
"9. Mathematics in science: searching for the truth" handler om modeller for verden. Fx Olbers paradox.
"10. Mathematics in science: approximate models" handler om fx en model for om en mandlig linie i et familietræ vil dø ud. I 1931 kom A. J. Lotka med en model hvor sandsynligheden var 0.88, dvs ret høj. Men hvad med model og virkelighed? Henry William Watson løste et problem som Francis Galton stillede i "The Educational Times". Roydyr versus byttedyr.
"11. The enjoyment of mathematics" handler om undskyldninger for at dykke ned i havet af matematiske tidsfordriv. G. H. Hardy, Christopher Morley. Ulige perfekte tal. Pi. Ramanujan.
"12. A miniature world and a long journey" handler om minimumsproblemer af type mindste afstand mellem A og B. Eller mindste tid eller mindste energiforbrug. Steiner-net. Billard på sært formede borde.
"13. A mathematical adventure" handler om en slags 'Du er helten i dette eventyr' bare lavet som udforskning af et matematisk problem. Det er vældigt godt lavet.
"14. Index" er et opslagsregister.

Et forsøg på at videregive ideen om matematik som en slags eksperimentel videnskab. Glimrende bog! Fx er der et afsnit om Ramanujan, der jonglerer rundt med uendelige produkter på suveræn vis.
Jeg kom til at tænke på "The Moessner Miracle". Summen af de ulige tal giver kvadrattallene. Alfred Moessner viste i 1951 en sjov variant. Start med alle tal, marker hvert andet tal og summer så dem, der ikke er markerede. Det giver kvadrattallene. Hvis man starter med alle tal, markerer hvert tredje tal og så hvert andet af de umarkerede og så summerer dem. Så får man kubiktallene.
Tilsvarende med hvert fjerde og så hver tredje og så hver anden, så får man fjerdepotenserne.… (lisätietoja)

Indeholder "Indledning", "abc-formodningen", "Andricas formodning", "AKS-algoritmen for primtalstest", "Aritmetisk progression af primtal", "Asymmetrisk kryptering", "Aurifeuilliske faktoriseringer", "Bangs sætning", "Batemans formodning", "Beals formodning og præmie", "Benfords lov", "Bernoulli-tal", " Kuriositeter ved Bernoulli-tal", "Bertrands postulat", "Blandede bolsjer", "Bonses ulighed", "Brier-tal", "Brocards formodning", "Bruns konstant", "Buss' funktion", "Carmichael-tal", "Catalans formodning", "Catalans Mersenne-formodning", "Champernownes konstant", "Cifferegenskaber", "Cikader og primtalsperioder", "Cirkulære primtal", "Clay Instituttet præmieopgaver", "Conways primtalsgenerator", "Cullen-primtal", "Cunningham-kæder", "Cunningham-projektet", "Decimaler, gentagne (periodiske)", " Perioden for 1/13", " Cykliske tal", " Artins formodning", " Repenhed-forbindelsen", " Magiske kvadrater", "Deficiente tal", "Demlo-tal", "Deskriptive primtal", "Dicksons formodning", "Diofant (ca 200 - 284)", "Dirichlets sætning og primtal i aritmetiske følger", "Primtal i polynomier", "Distribueret beregning", "Divisionstest", "Divisorer (faktorer)", " Hvor mange divisorer? Hvor stor er d(n)?", " Rekordstort antal divisorer", " Kuriositeter ved d(n)", " Divisorer og kongruenser", " Summen-af-divisorer-funktionen σ(n) sigma(n)", " Størrelsen af σ(n)", " En rekursiv formel", " Divisorer og partitioner", " Kuriositeter ved σ(n)", " Primfaktorer", " Divisor-kuriositeter", "Electronic Frontier Foundation", "elliptiske kurver og primtalstest", "Eratostenes' si", "Erdös, Paul (1913 - 1996)", " Samarbejdspartnere og Erdös-tal", "Euklid (cirka 330 - 270 f.v.t)", " Entydig faktorisering", " sqrt(2) er irrationalt", " Euklid og uendeligheden af primtal", " Sammensatte tal i rækkefølge", " Primtal af form 4n+3", " Rekursiv følge", " Euklid og perfekte tal", " Euklids algoritme", "Euler, Leonhard (1707 - 1783)", " Eulers bekvemme tal", " Baselproblemet", " Eulers konstant", " Euler og de reciprokke primtal", " Eulers totient-funktion (phi)", " Carmichaels totientfunktionsformodning", " Kuriositeter ved Φ(n)", " Eulers kvadratiske form", " Eulers heldige tal", "Faktoriseringsmetoder", " Faktorer af en særlig type", " Fermats algoritme", " Legendres metode", " Kongruens og faktorisering", " Hvor svært er det at faktorisere store tal?", " Kvantecomputere", "Fakultet", " Fakultetstalsfaktorer", "Fakulteter, dobbelte og tripler", "Fakultetsprimtal", "Fakultetssummer", "Feit-Thompson-formodningen", "Fejl", "Fermat, Pierre de (1607 - 1655)", " Fermats lille sætning", " Fermats kvotient", " Fermat og primtal af form x^2 + y^2", " Fermats formodning, Fermat-tal og Fermat-primtal", " Fermat-faktorisering, fra F5 til F50", " Generaliserede Fermat-tal", " Fermats sidste sætning", " Det første tilfælde af Fermats sidste sætning", " Wall-Sun-Sun-primtal", "Fermat-Catelan-sætningen og -formodningen", "Fibonacci-tal", " Divisionsegenskaber", " Fibonacci-tal, kuriositeter", " Éduard Lucas og Fibonacci-tallene", " Fibonacci-følger af sammensatte tal", "Formler for primtal", "Formodninger", "Fortune-tal og Fortunes formodning", "Gauss, Johann Carl Friedrich (1777 - 1855)", " Gauss og fordelingen af primtal", " Gauss-primtal", " Gauss' cirkelproblem", "Gennemsnitsprimtal", "Gilbreaths formodning", "GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search", "Gingas formodning", " Ginga-tal", "Glatte tal", "Gode primtal", "Goldbachs formodning", "Grimms problem", "Hardy, G. H. (1877 - 1947)", " Hardy-Littlewood-formodningen", "Heldige tal", " Antallet af heldige tal og primtal", " 'Tilfældige' primtal", "Heltalsrække-følgen", "Heuristisk ræsonnement", " Et heuristisk argument af George Pólya", "Hilberts 23 problemer", " Hjemmeprimtallet", "Hurtig multiplikation", "Hypotese H", "Højre-trunkerbare primtal", "Induktion", "k-tupel-formodningen for primtal", "Kinesiske restklassesætning", "Knuder, primtals- og sammensatte", "Kusineprimtal", "Kvadratfri tal", "Kvadratiske residuer", " Residue-kuriositeter", " Polynomie-kongruenser", "Kvadratisk reciprocitet, lov om", " Eulers kriterium", "Landau, Edmund (1877 - 1938)", "Latmirp", "Legendre, A. M. (1752 - 1833)", "Lehmer, Derrick Henry (1905 - 1991)", "Lehmer, Derrick Norman (1867 - 1938)", "Linniks konstant", "Liouville, Joseph (1809 - 1882)", "Littlewoods sætning", " Primtalskapløbet", "Lucas, Édouard (1842 - 1891)", " Lucas-følgen", " Primtalstest", " Lucas' beregningsspil", " Lucas-Lehmer-prøven", "Magiske kvadrater", "Matijasevic og Hilberts 10. problem", "Mersenne-tal og Mersenne-primtal", " Mersenne-tal", " Jagten på Mersenne-primtal", " Den elektroniske tidsalder", " Mersenne-primtalsformodninger", " Den nye Mersenne-formodning", " Hvor mange Mersenne-primtal?", " Eberharts formodning", " Faktorer for Mersenne-primtal", " Lucas-Lehmer-test for Mersenne-primtal", "Mertens konstant", "Mertens sætning", "Mestertal", "Mills' sætning", " Wrights sætning", "Niven-tal", "Næsten-primtal", "Oppermans formodning", "Overflodstal", "Palindrom-primtal", "Pandigitale primtal", "Pascals trekant og binomialkoefficienter", " Pascals trekant og Sierpinskis si", "Patenter på primtal", "Pépins test for Fermat-tal", "Perfekte tal", " Ulige perfekt tal", "Perfekte tal, multipelt", "Permuterbare primtal", "π (pi), primtal i decimalerne af", "Pocklingtons sætning", "Polignacs formodninger", "Polignactal eller stædige tal", "Potensrige tal", "Primtiv primtalsfaktor", "Primitive rødder", " Artins formodning", " En kuriositet", "Primtal i rækkefølge, summer af", "Primtalsgraf", "Primtalsprætendent", "Primtalssætningen og primtals-tællefunktionen", " Historie", " Et elementært bevis", " Rekordberegninger", " Estimater for p(n)", " Beregning af p(n)", " En kuriositet", "Primtalstestning", " Sandsynlighedsteoretiske metoder", "Primultet", " Primultets-primtal", "Proths sætning", "Pseudoperfekte tal", "Pseudoprimtal", " Grundtal og pseudoprimtal", "Pseudoprimtal, stærke", "Pyramide af primtal", "Pythagoræiske trekanter, primtal", "Ramanujan, Srinivasa (1877 - 1920)", " Stærkt sammensatte tal", "Rekordprimtal", " Nogle rekorder", "Repenhed og primtal", "Rhonda-tal", "Riemann-formodningen", " Farey-følgen og Riemann-formodningen", " Riemann-formodningen og σ(n), summen af divisor-funktionen", " Kvadratfri og røde og blå tal", " Mertens formodning", " Riemann-formodningen, kuriositeter", "Riesel-tal", "RSA-algoritmen", " Martin Gardners udfordring", "RSA-faktorisering, den nye udfordring", "Ruth-Aaron-tal", "Rækkefølgetal", "Sammenkædning af primtal", "Sammensatte tal", "Scherks formodning", "Semi-primtal", "'Sexede' primtal", "Shanks formodning", "Siamesiske primtal", "Sierpinski-tal", " Sierpinski-strenge", " Sierpinski-kvadratisk form", " Sierpinskis Φ(n)-formodning Phi(n) ", "Sletbare og trunkerbare primtal", " Trunkerbare primtal", "Sloanes online-leksikon over talfølger", "Smith-tal", " Smith-brødre", "Små tals stærke lov", "Sophie Germain-primtal", "Sikre primtal", "Spring mellem primtal og antal sammensatte", "Springmester", "Stern-primtal", "Sære tal", "Tilfældighed af primtal", " Von Sternach og en primtalstilfældig vandring", "Trekantstal", "Trivia", "Tvillingeprimtal", " Tvillingekuriositeter", "Ufuldbyrdede tal", "Ulam-spiralen", "Ulige tal skrevet som p + 2*a^2", "Ulovlige primtal", "Unitære divisorer", " Unitært perfekt", "Urørlige tal", "Venskabstal", " Venskabs-kuriositeter", "Venstre-trunkerbare primtal", "Wieferich-primtal", "Wilsons sætning", " Tvillingeprimtal", " Wilson-primtal", "Wolstenholme-tal og Wolstenholme-sætninger", " Flere faktorer for Wolstenholme-tal", "Woodall-primtal", "Zeta-mysterier: kvanteforbindelsen", "Ægte divisorer og divisor-følger", "Økonomiske tal", "Appendiks A. De første 500 primtal", "Appendiks B. Aritmetiske funktioner", "Bibliografi", " Nogle gode websteder", "Stikord".

Oversættelsen er ikke fem potter pis værd. Fx side 71: Erdös' n-2^k formodning: Hvis man fra n trækker alle totalspotenser mindre end n, hvornår bliver resultatet så et primtal? Erdös formodede, at n må være 4, 7, 15, 21, 45, 75 eller 105.
Det er jo noget værre ævl, som det står, for fx 7 - 4 - 2 = 1 og det er ikke et primtal. Når man så slår formodningen op, så handler det om at alle tal 7 - 4, 7 -2 skal være primtal. Tilsvarende 105 - 64, 105 - 32, 105 - 16, 105 - 8, 105 - 4, 105 - 2 skal være primtal og man kan godt se hvorfor det bliver sværere og sværere at opfylde.

Man kan bruge bogen som appetitvækker, men man skal være forsigtig med at bruge tal og resultater uden at checke. Opslagsregisteret er også irriterende, fx henviser Kvadratfri tal til side 152, men der står også noget på side 225, som man kun finder ved at bladre hele bogen igennem. Bang nævnes, men hvilken Bang. A. S. Bang, men Bangs sætning blev generaliseret til Zsigmondy's teorem, som derfor er mere kendt. Til gengæld er Zsigmondy's teorem ikke rigtigt refereret. Rækken (27^n - 5^n) starter med 22 og 704. 704 = 32 * 22, så der er vist ikke dukket nye primitive faktorer op der.
Fibionacci-tal? Nå nej, det er Fibonacci-tal osv.

Jeg kan godt lide Alphonse de Polignac og hans formodning om at der for ethvert lige tal n findes uendelig mange primtalspar med afstand n. Dvs der er ikke bare uendeligt mange primtalstvillinger, men også uendeligt mange med afstand 246. Det kan man jo generalisere, så der er også formodninger om at alle ikke-indlysende umulige kombinationer også forekommer uendeligt mange gange, fx (n og n+2), dvs primtalstvillinger og (n, 2n+1) dvs Sophie Germain primtal. Det kan generaliseres til også at gælde dem samtidigt og til også at gælde polynomier og flere polynomier samtidigt. Det er en generalisering af Bunyakovsky's formodning.
Under "små tals stærke lov" er der et sjovt kig på 2^n mod n. Det starter med totalspotenser, men n=18 giver 10, n=25 giver 7 og n=4700063497 giver 3 (og der er ingen mindre værdier af n, der giver 3).
Under "Wilsons sætning" står der at den går ud på at hvis p er et primtal, så kan (p-1)! deles med p. Faktisk gælder det også den anden vej, men det står først nogle linier længere nede.
Der står lidt om Ada Lovelace og om Kac og Erdös, der kobler sandsynlighedsteori sammen med primtalsfordelingen.
Under Conways primtalsgenerator finder vi et Fractran program: 17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1, som finder alle primtal. Og så nogle bogstaver i udførslen T, S og P, som ingen mening giver. Jeg tror det er P=I, S=J, T=K, men hvor den fejl kommer fra?
Ah, i den engelske udgave er det ikke A,B,C..N men ABDHEFIRPSTLMN.
Der er et par fejl på side 48, men de er også i den engelske original.

Nederst på side 83 står der at Richard Guy har bemærket at hvis n er et primtal, så er Phi(n)Phi(n) 1 mindre end et kvadrattal. Det er jo noget værre vås og hvis man kigger i den engelske udgave, så er det Phi(n)Sigma(n) der menes, fx Phi(17)*Sigma(17) = 16*18 = 17*17 - 1. Det samme gælder flere andre tal, fx 33, da Phi(33)*Sigma(33) = 20 * 48 = 960 = 31*31 - 1.

"Lehmer's totient problem" er til gengæld gengivet helt korrekt, men lige nedenunder er Sigma(p) blevet til Phi(n). Osv. Der er simpelthen for mange fejl i den her oversættelse. Eller måske er det bare indtastningen, der er gået galt? På engelsk står der dog Phi(n) + Sigma(n) = 3p, hvor der skulle stå 3n, så den er heller ikke lydefri.

Typografisk trækker det også ned at man har valgt en font, hvor 1 er et stort I. Det generer stort set alle vegne, selv kildereferencer som Guy I997 ser dummere ud end Guy 1997. Det er supersynd for den engelske udgave har meget få fejl og ser ud til at være grundigt researchet og korrekturlæst.… (lisätietoja)

Per chi conosce la divulgazione matematica britannica, i nomi di Estaway e Wells sono ben noti. Non sapevo però che avessero scritto insieme un libro di quizzini matematici che è molto simpatico. Molti dei problemi sono dei classici, ma ne ho trovati parecchi a me sconosciuti e davvero simpatici da risolvere, perché la loro soluzione non è semplicemente un'applicazione di regole matematiche oppure logiche, ma richiede quel minimo di pensiero laterale - in alcuni casi obliquo... - che dà soddisfazione. Se riuscite a trovarlo, acquistatelo!… (lisätietoja)